วิชาการ

ความรู้พื้นฐานทางด้านวิศวกรรม
:สู่โลกอิเลกทรอนิกส์ | เก่งคิดคณิตศาตร์ | สนุกกับการทำโจทย์ ์ |รู้เฟื่องเรื่องฟิสิกส์ | สารระน่ารู้ 
........................................................................................................................

Math E-Book Release 2.5

  เป็นฉบับเต็มๆ ล่าสุด ดาวน์โหลด
........................................................................................................................

รวมบทเรียนสำหรับนักเรียน ม.ปลาย + ติว
   * ฟิสิกส์ ม.ปลาย
   * รวมทุกวิชา ม-ปลาย
   * เคมี ม.ปลาย 
 

--------------------------------------------------------------------------------

บทความ คณิตศาสตร์และอื่นๆที่น่าสนใจ

--------------------------------------------------------------------------------

จินตคณิต

กฏของ 9 ในการคูณเลขเบิ้ล

ตัวอย่าง

66 x 9 = 594

วิธีคิด  9 x 6 = 54   เอา 9 หนึ่งตัวไปใส่ตรงกลาง *เลข 9 ที่นำไปใส่ตรงกลางจะมีจำนวนน้อยกว่าตัวคูณต้น สังเกตุ ตัวคูณต้นมี 6 ทั้งหมด 2 ตัว

777 x 9 = 6,993

วิธีคิด  9 x 7 = 63 เอา 9 สองตัวไปใส่ตรงกลาง *เลข 9 ที่นำไปใส่ตรงกลางจะมีจำนวนน้อยกว่าตัวคูณต้น สังเกตุ ตัวคูณต้นมี 7 ทั้งหมด 3 ตัว

การคูณไขว้แบบประหลาด

ตัวอย่าง

25 x 32 = 800

วิธีคิด 3 x 5 = 15 (คูณไขว้กัน สังเกตุในขณะที่มันอยู่แนวตั้ง)

        2 x 2 = 4 (คูณไขว้กัน สังเกตุในขณะที่มันอยู่แนวตั้ง)

 กำหนดให้ หลักร้อย เป็น หลักที่ 1 หลักสิบเป็นหลักที่ 2 หลักหน่วยเป็นหลักที่ 3

      15 + 4 = 19 ใส่ไวในหลักที่สอง จะเห็นว่า 9 อยู่หลักที่สอง ส่วน 1 เกินไปทดหลักที่ 1

      นำ 2 x 3 แนวตรง สังเกตุตอนอยู่แนวตั้ง = 6 + 1 ที่ทด ได้ 7  หลักที่ 3 
      นำ 5 x 2 แนวตรง สังเกตุตอนอยู่แนวตั้ง = 10 ใส่ 0 ทด 1 ไปที่หลักที่ 2

      สังเกตุ หลักที่สองเป็น 9 9+1 = 10 ใส่ 0

      ทดไปหลักที่ 3 หลักที่ 3 เป็น 7+1 = 8 ได้ 800

ตัวอย่างอีกข้อ

12 x 21 = 252

วิธีคิด 2 x 2 = 4 (คูณไขว้กัน สังเกตุในขณะที่มันอยู่แนวตั้ง)

        1 x 1 = 1 (คูณไขว้กัน สังเกตุในขณะที่มันอยู่แนวตั้ง)

กำหนดให้ หลักร้อย เป็น หลักที่ 1 หลักสิบเป็นหลักที่ 2 หลักหน่วยเป็นหลักที่ 3

นำ 4 + 1 = 5 ใส่ไว้หลักที่ 2

หลักที่ 1

นำ 2 x 1 แนวตรง สังเกตุตอนอยู่แนวตั้ง = 2

หลักที่ 3

นำ 1 x 2 แนวตรง สังเกตุตอนอยู่แนวตั้ง = 2

ได้ 252

เลขยกกำลังที่เป็นหลัก 50

ตัวอย่าง

51 x 51 = 2,601

วิธีคิด ตั้ง 3,000 ไว้ก่อน ดู 51 1-5 ได้ -4 ให้คิดเป็น 400 ไปลบ 3,000 1 x 1 ได้ 1 = 2,601

52 x 52 = 2,704

วิธีคิด ตั้ง 3,000 ไว้ก่อน ดู 52 2-5 ได้ -3 ให้คิดเป็น 300 ไปลบ 3,000 2 x 2 ได้ 4 = 2,704

53 x 53 = 2,809

วิธีคิด ตั้ง 3,000 ไว้ก่อน ดู 53 3-5 ได้ -2 ให้คิดเป็น 200 ไปลบ 3,000 3 x 3 ได้ 9 = 2,809

54 x 54 = 2,916

วิธีคิด ตั้ง 3,000 ไว้ก่อน ดู 54 4-5 ได้ -1 ให้คิดเป็น 100 ไปลบ 3,000 4 x 4 ได้ 16 = 2,809

55 x 55 = 3,025

วิธีคิด ตั้ง 3,000 ไว้ก่อน ดู 55 5-5 ได้ 0 ให้คิดเป็น 000 ไปลบ 3,000 5 x 5 ได้ 25 = 3,025

56 x 56 = 3,136

วิธีคิด ตั้ง 3,000 ไว้ก่อน ดู 56 6-5 ได้ 1 ให้คิดเป็น 100 ไปบวก 3,000 6 x 6 ได้ 36 = 3,136

57 x 57 = 3,249

วิธีคิด ตั้ง 3,000 ไว้ก่อน ดู 57 7-5 ได้ 2 ให้คิดเป็น 200 ไปบวก 3,000 7 x 7 ได้ 49 = 3,249

58 x 58 = 3,364

วิธีคิด ตั้ง 3,000 ไว้ก่อน ดู 58 8-5 ได้ 3 ให้คิดเป็น 300 ไปบวก 3,000 8 x 8 ได้ 64 = 3,364

59 x 59 = 3,481

วิธีคิด ตั้ง 3,000 ไว้ก่อน ดู 59 9-5 ได้ 4 ให้คิดเป็น 400 ไปบวก 3,000 9 x 9 ได้ 81 = 3,481

การคูณทีล่ะ 2 หลัก

9,045 X 2 = 18,090

วิธีคิด นำ 45 X 2 = 90 เติม 90

        นำ 90 X 2 = 180 เติม 180

เลขยกกำลังลงท้ายมากกว่าหรือน้อยกว่า 5

47 x 47 = 2,209 คิดอย่างไร

ปัด 47 ตัวหน้าเป็นจำนวนเต็มต้องปัดเพิ่ม 3 เป็น 50

เมื่อข้างหน้าปัดไป 3 ข้างหลังต้องปัดลด 3 เป็น 44

ย้าย 0 มาไว้ที่ 44 เป็น 440 x 5 จะใช้ 44 x 50 ก็ได้ แต่ที่ย้าย 0 เพราะคิดในใจจะได้ไม่ลืม = 2,200

ปัดเพิ่มปัดลดไปด้วย 3 สองครั้ง นำมาคูณกัน ได้ 9

2,200+9 = 2,209

52 x 52 = 2,704 คิดอย่างไร 
ปัด 47 ตัวหน้าเป็นจำนวนเต็มต้องปัดลด 2 เป็น 50

เมื่อข้างหน้าปัดไป 3 ข้างหลังต้องปัดเพิ่ม 2 เป็น 54

ย้าย 0 มาไว้ที่ 44 เป็น 540 x 5 จะใช้ 54 x 50 ก็ได้ แต่ที่ย้าย 0 เพราะคิดในใจจะได้ไม่ลืม = 2,700

ปัดเพิ่มปัดลดไปด้วย 2 สองครั้ง นำมาคูณกัน ได้ 4

2,700+4 = 2,704

การลบโดยจับคู่ 10

124 - 19 = 105 คิดอย่างไร

9-4 ได้ 5 คู่ 5 คือ 5 ใส่ 5 แล้วเพิ่ม 1 ในหลักต่อไป เหลือ 2-2=0 1 ไม่มีตัวลบ ดึงลงมา ได้ 105

2,456-1,559=897 คิดอย่างไร

9-6 ได้ 3 คู่ 3 คือ 7 ใส่ 7 แล้วเพิ่ม 1 ในหลักต่อไป เหลือ 245-156

6-5 ได้ 1 คู่ 1 คือ 9 ใส่ 9 แล้วเพิ่ม 1 ในหลักต่อไป เหลือ 24-16

6-4 ได้ 2 คู่ 2 คือ 8 ใส่ 8 แล้วเพิ่ม 1 ในหลักต่อไป เหลือ 2-2 ได้ 0 ตอบ 897

เลขยกกำลังลงท้ายด้วย 5

มาดูเลขยกกำลังหรือเลขที่คูณซ้ำกันที่ข้างหลังเป็น 5

สมมติ

25 x 25 = 625 คิดอย่างไร มากกว่า 2 คือ 3 นำ 2 x 3 = 6 เติม 25

125 x 125 = 15,625 คิดอย่างไร มากกว่า 12 คือ 13 นำ 12 x 13 =156 เติม 25

หมายเหตุ : จำที่มาไม่ได้ ขออนุญาตนำมาเผยแพร่เพื่อเป็นประโยชน์ต่อการศึกษา ขอบคุณครับ

 

เลขยกกำลังสอง คิดลัดเลขยกกำลังสอง

เมื่อเราเอาจำนวนนับคูณด้วยตัวของมันเองเมื่อไร เราเรียกกว่า กำลังสองของเลขจำนวนนั้น

          เช่น                     38  ×  38    เราเขียนได้   38²    ซึ่งอ่านว่า “ สามสิบแปด ยกกำลังสอง ”

                                      ซึ่งหมายความว่า      เอา  38  คูณด้วย  38  

          วิธีคิด (แบบตั้งคูณ)                 3 8 _x

                                                     3 8

                                                   3 0 4 ₊

                                                1 1 4 

                                                1 4 4 4

                     ตอบ                                 1444          

   

         วิธีคิด     ( แบบคูณลัด)            3 8 _x

                                                     3 8

                                                          9 0 0        30 × 30   =   900  (เอาเลขหลักสิบตัวคูณคูณกับหลักสิบตัวตั้ง)

                                                          4 8 0         8 × 30 × 2  = 480  (เอาเลขหลักหน่วยตัวคูณคูณกับหลักสิบตัวตั้งแล้วคูณด้วย 2 ) 

                                                             64              8 × 8   =   64  (เอาเลขหลักหน่วยตัวคูณคูณกับหลักหน่วยตัวตั้ง)

                          จะได้      900 + 480 + 64  = 1444

การบวกเร็ว

ตัวอย่างการบวกเลข 2 หลัก     
       95+38 = ?

       วิธีคิดในใจคือ แยกตัวเลขเป็น 2 กลุ่ม คือ (90+30) และ (5+8) แล้วนำมารวมกัน ได้ 133        

 ตัวอย่างการบวกเลข 3 หลัก
              763+854=?       
       
       วิธีคิดในใจคือ 800+700 =1,500 แล้วบวก 60+50 ได้ 1,610 แล้วนำไปบวกกับ 3+4 ที่เหลือ ได้คำตอบของโจทย์นี้เท่ากับ 1,617       
       ส่วนวิธีลบ ชาครีย์บอกว่า น่าจะเป็นวิธีที่คนทั่วไปไม่รู้ เพราะปกติเราจะตัวเลขตั้งแล้วลบ แต่วิธีของ ดร.เบนจามินคือ เปลี่ยนจากตัวเลขลบเป็นบวก (complement)
       
       เช่น -23 มี complement เป็น 77
       
       ตัวอย่างคือ 138-68 ให้เปลี่ยนเป็น (138+32) – 100 จะคิดได้ง่ายกว่า
       
       หรืออีก ตัวอย่าง 857-192 = ? มีวิธีคิดง่ายๆ คือ เปลี่ยนเป็น 857-200 = 657 แล้วบวกด้วย 8 ที่ลบเกินไป จะได้คำตอบ 665
       
       สำหรับวิธีคูณก็คิดจากซ้ายไปขวาเช่นกัน
       
       อาทิ 13x14=? ให้แยกเป็น (13x10)+(13x4) = 130+52 = 182
       
       หรือ 68x49 ให้คิดเป็น 68x50 = 3,400 แล้วลบ 68 ที่คูณเกินมา หรือ 84x21 = ? ให้คิดเป็น 84x20=1,680 แล้วบวกด้วย 84 ที่ยังคูณไม่ครบ
       
       มาถึงเลขยกกำลัง ชาครีย์ได้ยกตัวอย่างการยกกำลัง 2 โดยระบุว่า ให้ปัดตัวเลขเพื่อให้เหลือตัวคูณเพียง 1 หลัก
       อาทิ 23² ซึ่งแยกได้เป็น 23x23 ให้ปัดตัวเลขขึ้น-ลงเป็น 26x20 = 520 แล้วบวกเข้ากับจำนวนยกกำลังสองของค่าที่ปัดขึ้น-ลง ซึ่งในตัวอย่างนี้คือ 3² จะได้คำตอบเป็น 529
       
       อีกตัวอย่างคือ 78² ปัดได้เป็น (80x76) + 2² = 6,084
       
       ส่วนการหารเลขยกกำลังนั้น ไม่แตกต่างจากที่วิธีคิดเดิมเท่าไหร่ เนื่องจากปกติเราหารจากซ้ายไปขวาอยู่แล้ว       

ร้อยละ

     ร้อยละ คือ เศษส่วนที่มีส่วนเป็น 100 มีคุณสมบัติ
     1. กำไร a% หมายความว่า ทุน 100 บาท
 กำไร a บาท
     2. ขาดทุน a% หมายความว่า ทุน 100 บาท
 ขาดทุน a บาท
     3. ลดราคา a% หมายความว่า สินค้าราคา 100 บาท
 ลดราคา a บาท

สามเหลี่ยมและความเท่ากันทุกประการ

      นิยามของความเท่ากันทุกประการ
     1. รูปสองรูปเท่ากันทุกประการเมื่อรูปหนึ่งทับอีกรูปหนึ่งได้สนิทพอดี
     2. ส่วนของเส้นตรงสองเส้นจะเท่ากันทุกประการ เมื่อส่วนของเส้นตรงนั้นยาวเท่ากัน
     3. มุมสองมุมจะเท่ากันทุกประการ เมื่อมุมทั้งสองมุมมีขนาดเท่ากัน
 ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
 นิยาม รูปสามเหลี่ยม ABC คือ รูปที่ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงสามเส้น , และ เชื่อมต่อจุด A,B และ C  ว่าจุดยอดมุมของรูปสามเหลี่ยม ABC
 รูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการเมื่อด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ
 ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในรูปแบบต่างๆ
     1. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบด้าน-มุม-ด้าน(ด.ม.ด.)
 นิยาม ถ้ารูสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีด้านยาวเท่ากันสองคู่และขนาดของมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากัน  เท่ากันแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ
     2. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบมุม-ด้าน-มุม(ม.ด.ม.)
 นิยาม ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่  และด้านซึ่งเป็นแขนร่วมของมุมทั้งสองที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันด้วยแล้ว  รูปสามเหลี่ยมสองนั้นจะเท่ากันทุกประการ
     3. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบด้าน-ด้าน-ด้าน(ด.ด.ด.)
 นิยาม ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีด้านยาวเท่ากันสามคู่แล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นจะเท่ากันทุกประการ

เส้นขนาน

     นิยาม เส้นตรงสองเส้นที่บนระนาบเดียวกันขนานกันเมื่อเส้นทั้งสองนี้ไม่ตัดกัน
 หลักการง่ายที่ใช้พิจารณาว่าเส้นตรงสองเส้นขนานกันหรือไม่
     1. ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัดแล้วขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ
เส้นตัดรวมกันเป็น 180 องศา
     2. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้น
ตัดรวมกันเป็น 180 องศาแล้ว เส้นตรงคู่นี้จะขนานกัน
     ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นขนานและมุมแย้ง
     1 . ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัดแล้วมุมแย้งจะมีขนาดเท่ากัน
     2 . เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ถ้ามุมแย้งที่เกิดขึ้นมีขนาดเท่ากันแล้วเส้นตรงคู่นั้นจะ
ขนานกัน
     รูปสามเหลี่ยมและเส้นขนาน
  คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยม
     1. ขนาดของมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมใดๆรวมกันได้ 180 องศา
     2. ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไปมุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผล
บวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประกอบของมุมภายนอกนั้น
     3. ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเท่ากันสองคู่และมีด้านที่อยู่ตรงข้ามกันมุมที่ม
ีขนาดเท่ากันยาวเท่ากันคู่หนึ่งแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้จะเท่ากันทุกประการ
สามเหลี่ยมสองรูปที่เกล่าวมีความสัมพันธ์แบบมุม-มุม-ด้าน(ม.ม.ด.)
     4. สามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ์แบบมุม-มุม-ด้านด้วย

ผลต่างมหัศจรรย์

1. ให้นักเรียนเขียนจำนวนเลขสองหลัก ห้ามเลขโดดของหลักสิบและหลักหน่วยเป็นเลขเดียวกัน เช่นนักเรียนอาจเขียน 29

2. ให้นักเรียนสลับเลขโดดของหลักหน่วยและหลักสิบ เช่น 29 สลับเลขโดดได้ 92

3. ให้นักเรียนนำจำนวนในข้อ 1 และ ข้อ 2 มาลบกัน โดยให้จำนวนมากเป็นตัวตั้ง

เช่น 92 - 29 = 63

4. ครูถามเลขโดดในหลักหน่วยหรือหลักสิบ

เมื่อ นักเรียนบอกเลขโดดที่ครูถาม ครูจะทายจำนวนที่นักเรียนได้

การทาย ครูนำจำนวนที่นักเรียนบอกไปลบออกจาก 9 จะได้อีกเลขโดดอีกจำนวนหนึ่ง

 เช่น ถ้านักเรียนบอกหลักหน่วยคือเลข 3

   9 - 3 = 6

ดังนั้น ผลต่างที่นักเรียนได้คือ 63

ทำไม ถึงเป็นเช่นนั้น

     เพราะการทำตามขั้นตอนที่ 1 ถึง 3 จะทำให้ผลบวกระหว่างเลขโดดของหลักหน่วยและเลขโดดของหลักสิบรวมกันเท่ากับ 9

    ถ้ากำหนดให้ขั้นตอนที่ 3 เขียนในรูปทั่วไปได้ดังนี้

                                                 -  xy

                                                    yx

    

                                        (x - 1 - y)(10 + y - x)

 จะเห็น ว่า x > y ดังนั้น y - x ต้องกระจาย x มา 1 หน่วย ซึ่งเท่ากับ 10 ผลต่างของหลักหน่วยจึงได้ 10 + y - x ส่วนผลต่างต่างของหลักสิบจะได้ x - 1 - y

เมื่อ มาบวกกัน จึงได้ดังนี้

(x - 1 - y) + (10 + y - x) = 9

นั่นคือ ผลบวกของเลขโดดที่ได้ในขั้นตอน 

    ที่ 3 เท่ากับ 9 นั่นเอง

อ้าง อิง

     เสรี ทองลอย.กลเกมคณิตศาสตร์.--กรุงเทพฯ. Learn and Play MATHGROUP PHRANAKHON.     มหาวิทยาลัยราชภัฎพระนคร.2551.76 หน้า.

ผลต่างมหัศจรรย์ 2

1. ให้นักเรียนเขียนจำนวนเลขสามหลัก ห้ามเลขโดดของแต่ละหลักเป็นเลขเดียวกัน เช่นนักเรียนอาจเขียน 673

2. ให้นักเรียนสลับเลขโดดของหลักหน่วยและหลักร้อย เช่น 673 สลับเลขโดดได้ 376

3. ให้นักเรียนนำจำนวนในข้อ 1 และ ข้อ 2 มาลบกัน โดยให้จำนวนมากเป็นตัวตั้ง

เช่น 673 - 376 = 297

4. ครูถามเลขโดดในหลักหน่วยหรือหลักร้อย

เมื่อ นักเรียนบอกเลขโดดที่ครูถาม ครูจะทายจำนวนที่นักเรียนได้

การทาย ครูนำจำนวนที่นักเรียนบอกไปลบออกจาก 9 จะได้อีกเลขโดดอีกหลักหนึ่ง

 เช่น ถ้านักเรียนบอกหลักร้อยคือเลข 2

   หลักหน่วยหาได้จาก 9 - 2 = 7

   ส่วนผลต่างของหลักสิบจะเป็น 9 เสมอ

ดังนั้น ผลต่างที่นักเรียนได้คือ 297

ทำไม ถึงเป็นเช่นนั้น

     เพราะการทำตามขั้นตอนที่ 1 ถึง 3 จะทำให้ผลบวกระหว่างเลขโดดของหลักหน่วยและเลขโดดของหลักร้อยรวมกันเท่ากับ 9

    ถ้ากำหนดให้ขั้นตอนที่ 3 เขียนในรูปทั่วไปได้ดังนี้

                              xyz  -

                             zyx

         (x - 1 - z)(10 + y - 1 - y)(10 + z - x)

 จะเห็น ว่า x > z ดังนั้น z - x ต้องกระจาย y มา 1 หน่วย ซึ่งเท่ากับ 10 ผลต่างของหลักหน่วยจึงได้ 10 + z - x ส่วนของต่างของหลักสิบ เนื่อง y ตัวตั้งถูกกระจายไป 1 จึงเหลือ y - 1 ซึ่งน้อยกว่า y ดังนั้นในการหาผลต่างจึงต้องกระจาย x มา 1 หน่วย ผลต่างของหลักสิบ จึงเป็น (10 + y - 1 - y = 9) o นั่นคือผลต่างของหลักสิบจะเท่ากับ 9 เสมอ ผลต่างของหลักร้อยจะได้ x - 1 - z

เมื่อ มาบวกกัน จึงได้ดังนี้

(x - 1 - z) + (10 + z - x) = 9

นั่นคือ ผลบวกของเลขโดดที่ได้ในขั้นตอนที่ 3 เท่ากับ 9 นั่นเอง

ที่มา : http://nan1.net/index.php?name=research&file=readresearch&id=33